有問有答

【血的說明】（留言抄錄）
　 1.知道了,在楊維哲的書上有(同學買的,我借來看)

　 2.是由求∫(sinx)^n dx(x=0 to pi/2,pi為圓周率)導出的

　　令 I_n=∫(sinx)^n dx(x=0 to pi/2,pi為圓周率)

　　計算得I_0=pi/2 I_1=1 用部分積分知道:(sinx是-cosx的微分)

　　I_n=∫(sinx)^(n-1)*sinx dx(x=0 to pi/2)

　　I_n=-cosx*(sinx)^(n-1)+(n-1)∫(cosx)^2*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2)

　　　=0+(n-1)∫(cosx)^2*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2) =(n-1)∫[1-

　　　　(sinx)^2]*(sinx)^(n-2) dx (x=0 to pi/2)

　　　=(n-1)[∫(sinx)^(n-2) dx-∫(sinx)^n dx] =(n-1)I_(n-2) + (1-n)I_n

　　　移項知道

　　I_n=(n-1)/n*I_(n-2) 分成2種情形

　　(a)n是偶數

　　I_n=(n-1)/n*I_(n-2)=[(n-1)(n-3)]/[n*(n-2)]*I_(n-4)=..........={[(n-1)(n-

　　　　3)*...*3*1]/[n*(n-2)*...*4*2]}*I_0

　　　=pi/2*[(n-1)(n-3)*...*3*1]/[n*(n-2)*...*4*2]

　　 (b)n是奇數

　　I_n=(n-1)/n*I_(n-2)=...=[(n-1)(n-3)*..*4*2]/[n*(n-2)*..*3*1] *I_1

　　　=[(n-1)(n-3)*..*4*2]/[n*(n-2)*..*3*1]

　　　由於0 0<(sinx)^(2n+1)<(sinx)^(2n)<(sinx)^(2n-1)

　　　於是知道

　　　I_(2n+1) 上是化簡成:(並取lim n→∞)

　　　lim n→∞(2n)/(2n+1)<=lim n→∞ n{[1*3*..*(2n-1)]/[2*4*...*(2n)]}^2<=1

　　　由夾擊原則知 lim n→∞1/n*{[2*4*...*(2n)]/[1*3*...*(2n-1)]}^2=pi

　　　　　這就是證明!

日期	主題	作者(提供者)
04/15/2000	如何證明 a_n=(2/1)(2/3)(4/3)*…收歛?	血