有問有答

【網友血的解答】

　　　●神來一筆
　　　如果將x、y、z用a、b、c表示：( 註:血比較習慣用abc)

　　　原式變成

　　　我們可以造一個以a,b,c為根的方程式，

　　　並由根與係數關係得到 x^3-x^2-1/2*x-abc=0

　　　因為a,b,c俱為上式的根

　　　　　　a^3-a^2-1/2a-abc=0....(i)

　　　　　　b^3-b^2-1/2b-abc=0....(ii)

　　　　　　c^3-c^2-1/2c-abc=0....(iii)

　　　將(i)(ii)(iii)相加，並利用已知條件，可求得

　　　 3-2-1/2(1)-3abc=0

　　　故abc=1/6
　

　　　【註:血原寫成3-2-1/2(1)-abc=0，abc=1/2，應為誤植】　　　　　　　　　　

　　　　因此已　a,b,c為根　的方程式為 x^3-x^2-1/2*x-1/6=0

　　 ●再接再勵

　　　如果將(i),(ii),(iii)分別乘上a,b,c,再相加,

　　　並令a(n)=a^n+b^n+c^n 就可知a(4)-a(3)-1/2*a(2)-1/6*a(1)=0

　　　現在a(1),a(2),a(3)為已知，代進去

　　　　可求得a(4)了 (即為本題所求)

　　【推廣】

　　　有一種東東叫"特徵根方程" 其中一種情形是

　　　　若　C1~Ci為任意常數

　　　　u(n)=C1*(a1)^n+C2*(a2)^n+....+Ci*(ai)^n，其中a1~ai互異,

　　　　且為　x^i+(b1)x^(i-1)+(b2)x^(i-2)+....+bi=0　的根

　　　　那就有u(n+i)+(b1)*u(n+i-1)+(b2)*u(n+i-2)+...+bi*u(n)=0ㄛ!!

　　　●使用時機

　　　　例如　求a^7+b^7+c^7時。

【數學王子的提醒】

　　　１這一題很明顯對國中同學較為吃力，不過數學王子要對血提到

　　　　的「根與係數」加以解釋。

　　　　●「根與係數」的關係

　　　　以一個以a,b,c為根的方程式，並由根與係數關係得到

　　　　x^3-x^2-1/2*x-abc=0

　　　　它是如何求得的呢？

　　　　●ab+bc+ca=?

　　　　利用「乘法公式」(或說分配律)

　　　　　是不是比較融會貫通了呢？　要多思考喔～

日期	主題	作者(提供者)
2000/08/22	一個多次方程式	血