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血的解答
●分別以v,f,e表示頂點，面，邊的個數
設每一個頂點與其他m個頂相連,且每個面由n條邊所組成,所以
m
v = f n = 2 e,代 Euler 公 式 得
(2e/m)+(2e/n)-e=2,
e=(2mn)/(2m+2n-mn)=2mn/(4-4+2m+2n-mn)=2mn/(4-(m-2)(n-2))
因為
e > 0,所 以 4 > (m - 2)(n - 2),
又因為 m > 2,n > 2 ,所 以 ( m, n )只可能為(3,3),(4,3),
(5, 3),(3,4)或(3,5),
因此(v,f,e)只可能為(4,4,6),(6,8,12),(12,20,30),(8,6,12)或
(20,12,30),
所以只有正4,6,8,12,20面體共五種。
數學王子的提醒
何謂尤拉(Euler)公式，「面數」＋「頂點數」－「邊數」＝２
詳細內容請見 由月考題目說起----立體圖形的邊、頂點與面
