數學王子的提醒
這個題目通常稱為「韓信點兵」問題，也叫「中國剩餘定理」問題
，不管用什麼名稱，都代表咱們老祖宗的智慧結晶，這是多麼令人驕
傲的一刻。
【韓信點兵】
劉邦打下天下之後，害怕韓信造反，所以打算把他殺了，但是，
又怕他帶的士兵太多，所以問了一下韓信目前帶了多少兵？韓信感覺
氣氛詭異，因此回答：
「兵不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」
這個回答讓劉邦不知所措，連軍師張良一下子也算不出韓信到底
帶了多少土兵，所以韓信逃過了一劫。
【中國剩餘定理】
另外在古籍中，也有一首詩點出了「韓信點兵」的答案：
「三人同行七十稀，五樹開花廿一枝，七子團圓正月半，除
百餘五便得知」
●中國剩餘定理的作法
這個題目用的方法，以現代的符號來看叫作「同餘」(mod)，
而同餘簡單的介紹在上個題目中已有提到「連續四個整數的問題」
用韓信點兵的題目，改成同餘來看：
「兵不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」
x
2
(mod3)
x3
(mod5)
x2
(mod7)
利用同餘的加性，可以讓x＝a+b+c, 其中
a2
(mod3) b0
(mod3) c0
(mod3)
a0
(mod5) b3
(mod5) c0
(mod5)
a0
(mod7) b0
(mod7) c2
(mod7)
所以
a＝35P
35P2
(mod3) P=1 ∴a＝35
b＝21P
21Q3
(mod5) Q=3 ∴b＝63
c＝15P
15R2
(mod7) R=2 ∴c＝30
∴x=35+63+30=128
其通解為128+105t t為整數《where 105=[3,5,7 ]》
因此韓信所帶的兵，人數可以少到23人，當然也可能是千萬
人，也難怪劉邦不敢輕舉妄動了。
本題的作法
設此數為x，因為
x1
(mod11)
x2
(mod13)
x3
(mod17)
x4 (mod23)
則利用同餘的寫法，x=a+b+c+d
a1
(mod11) b0
(mod11) c0
(mod11) d0
(mod11)
a0
(mod13) b2
(mod13) c0
(mod13) d0
(mod13)
a0
(mod17) b0
(mod17) c3
(mod17) d0
(mod17)
a
0 (mod23)
b0
(mod23) c0
(mod23) d4
(mod23)
所以
a=5083P
5083P1
(mod11) P=1 ∴a=5083
b=4301Q
4301Q2
(mod13) Q=-1 ∴b=-4301
c=3289R
3289R3
(mod17) R=11 ∴c=36179
d=2431S
2431S4
(mod23) S=6 ∴d=14586
∴x=5083-4301+36179+14586=51547
其通解為 51547+55913t
t為整數《where 55913=[13,15,17 ,23]》
