2007年12月9日
請問：
首項5，公差3/2之等差數列，若奇數項之和比偶數項之比大20，求此數列之項數。
思考：
看到這個題目, 我們應該會幾個思考方向:
1.可不可以直接列出加以計算？
2.有沒有規律可循?
作法：
【法一】直接列出加以計算。
| 項數n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 奇數項和 | 5 | 5 | 5+(5+3) | 5+(5+3) | 5+(5+3)+(5+6) | 5+(5+3)+(5+6)+(5+9) | |
| 偶數項和 | 0 | 5+3/2 | 5+3/2 | 5+3/2+5+9/2 | (5+3/2)+(5+9/2) | (5+3/2)+(5+9/2)+(5+15/2) | |
| 奇-偶 | 5 | -3/2 | 5+3/2 | -3 | 5+(3/2)•2 | 5+(3/2)•3 |
由上式的觀察可知，項數必為奇數項，且奇數項和-偶數項和=5+3/2•X
由題意 奇數項和-偶數項和=5+3/2•X
=20
故 X=10
由上表，反推即知 項數n=21
【法二】利用等差級數公式來計算
因為奇數項之和－偶數項之和＝２０，故可知此數列必有奇數項。（Why？）
奇數項 首項=5, 公差 3/2, 項數n+1
偶數項 首項=5＋3/2, 公差 3/2, 項數n
由等差級數公式知 ◆等差級教＝n/2 ×[２a＋（n-1）d] 其中n為項數，a為首項
d為公差
（n+1）/2 ×[2×５＋（n＋１-1）d]－ n/2 ×[2×（５＋3/2)＋（n-1）d] = 20
兩邊同乘2，並化簡得
（n+1）(10+3n)－n(10+3n)=40
10+3n＝４０
n=10
故此等差數列有共有１０＋１１＝２１項
【法三】列出來計算
依照題意，此數列之各項應如下所示：
5 , 6.5 , 8 , 9.5 , 11 , 12.5 , 14 ， 15.5 ，…
將奇數項與偶數項改成上下排列，可發現有趣的特性，
奇數項 5 , 8 , 11 , 14 ， 1７ ，…
偶數項 6.5 ,9.5 , 12.5 ,15.5 ，…
５ １.5 1.5 1.5 1.5 ，…
明顯地，若奇數項之和與偶數項要相差２０，必是５＋1.5×１０＝２０
故總項數有２１項。
